Los primos gemelos son pares de primos que difieren en dos. Los primeros primos gemelos son {3,5}, {5,7}, {11,13} y {17,19}. Se ha conjeturado (pero nunca probado) que hay infinitos primos gemelos.
Si la probabilidad de que un entero aleatorio n y el entero n +2 sean primos fueran eventos estadísticamente independientes, se seguiría del teorema del número primo que existen n/( log n)2 primos gemelos menores que o iguales a n. Estas probabilidades no son independientes, por lo que Hardy y Littlewood conjeturaron que la estimación correcta debería ser la siguiente:
\[ 2\prod_{p>=3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\int\limits_x^2\frac{dx}{(logx)^2}=1.320323632\int\limits_x^2\frac{dx}{(logx)^2} \]
Aquí el producto infinito es la constante de los números primos gemelos (estimada por Wrench y otros que es aproximadamente 0.6601618158 …), y presentamos una integral para mejorar la calidad de la estimación. ¡Este estimado funciona bastante bien! Por ejemplo:
| N | Actual | Estimado |
|---|---|---|
| 106 | 8169 | 8248 |
| 108 | 440312 | 440368 |
| 1010 | 27412679 | 27411417 |
Hay una tabla más larga de Kutnib y Richstein disponible en línea.
En 1919, Brun demostró que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge a una suma ahora llamada Constante de Brun. (Recuerde que la suma de los recíprocos de todos los números primos diverge ). Calculando los números primos gemelos hasta 1014 (y descubriendo el infame error de pentium en el camino), Thomas Nicely estima heurísticamente que la constante de Brun es 1.902160578.
Como ejercicio, es posible que desee probar la siguiente versión del teorema de Wilson:
Teorema: (Clemente 1949)
Los enteros n , n +2, forman un par de primos gemelos si y solo si:
4[(n-1)!+1] = -n(mod n(n+2))
Bien, ¡lástima que virtualmente no tiene ningún valor práctico!
Números primos gemelos del 1 al 1000
Se presenta una tabla de números primos gemelos menores que 1000:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).(8887 , 8889)
Tabla de Números Gemelos grandes
Récords de números primos de este tipo.
| Posición | Número Primo | Dígitos | Fecha |
|---|---|---|---|
| #1 | 2996863034895 x2^1290000 – 1 | 388342 | Septiembre 2016 |
| #2 | 3756801695685×2^666669 – 1 | 200700 | Diciembre 2011 |
| #3 | 65516468355×2^333333 – 1 | 100355 | Agosto 2009 |
| #4 | 12770275971×2^222225 – 1 | 66907 | Julio 2017 |
| #5 | 70965694293×2^200006 – 1 | 60219 | Abril 2016 |
| #6 | 66444866235×2^200003 – 1 | 60218 | Abril 2016 |
| #7 | 4884940623 x2^198800 – 1 | 59855 | Julio 2015 |
| #8 | 2003663613×2^195000 – 1 | 58711 | Enero 2007 |
| #9 | 38529154785 x2^173250 – | 52165 | Julio 2014 |
| #10 | 194772106074315×2^171960 – 1 | 51780 | Junio 2007 |
| #11 | 100314512544015 x2^171960 – 1 | 51780 | Junio 2006 |
| #12 | 16869987339975×2^171960 – 1 | 51779 | Septiembre 2005 |
| #13 | 33218925 x2^169690 – 1 | 51090 | Septiembre 2002 |
| #14 | 22835841624 x2^54321 – 1 | 45917 | Noviembre 2010 |
| #15 | 1679081223×2^151618 – 1 | 45651 | Febrero 2012 |
| #16 | 9606632571×2^151515 – 1 | 45621 | Julio 2014 |
| #17 | 84966861 x2^140219 – 1 | 42219 | Abril 2012 |
| #18 | 12378188145 x2^140002 – 1 | 42155 | Diciembre 2010 |
| #19 | 23272426305 x2^140001 – 1 | 42155 | Diciembre 2010 |
| #20 | 8151728061×2^125987 – 1 | 37936 | Mayo 2010 |
¡Tabla actualizada al año 2018!