Los antiguos griegos demostraron (alrededor del 300 aC) que había infinitos primos. Hace aproximadamente un siglo, se demostró que el número de primos que no excede de x (llamado π(x)) es asintótico a x / log x.
Este resultado se llama el teorema del número primo. Podemos decir esto de una forma más precisa usando la función Li de Riemann:
\[ \pi (x) = Li (x) + O (x \times e ^{- a \times \sqrt{log x}}) \]
para alguna constante a.
El teorema del número primo implica que la probabilidad de que un número aleatorio n sea primo, es aproximadamente 1 / log n (técnicamente, la probabilidad de que un número m elegido del conjunto {1,2, …, n } sea primo sea asintótico a 1 / log n). También implica que la brecha o espacio promedio entre primos cerca de n es aproximadamente log n y que log (n#) es sobre de n ( n# es la función primordial).
Versión del teorema del número primo
Es sorprendentemente difícil dar un argumento heurístico razonable para el teorema del número primo (y no por casualidad, la demostración de este teorema está bastante involucrada). Greg Martin sugirió el siguiente enfoque.
Supongamos que hay una función f(x) que es la «probabilidad» de que el entero x sea primo. El entero x es primo con probabilidad f(x), y luego divide los enteros más grandes con probabilidad 1 / x ; así que cuando x cambia de x a x +1, f ( x ) cambia a (aproximadamente):
f(x).(1-f(x)/x)
Entonces tenemos
f'(x) = -f²(x)/x
La solución general de esta ecuación diferencial es 1 / (log ( x ) + c ). Esta es una versión del teorema del número primo (y la mejor opción de c es negativa).