Número primo de Mersenne

Para entender cuándo se dice que un número entero positivo es Número primo de Mersenne, primero repasemos la definición, la conjetura y finalmente llegaremos al punto de interés.

Número de Mersenne

Los números de Mersenne son enteros de la forma:

\[ M_n = 2^n-1 \]

Muchos autores recomiendan que el exponente n sea ​​un primo. Son de interés porque los primos de Mersenne (números primos de Mersenne) se encuentran entre los primos más antiguos y más estudiados. Y se cumple lo siguiente:

• Los números de Mersenne que sean primos también tendrán un n primo (aunque no al revés;  que n sea prima no es una condición suficiente para que Mn lo sea).
• Si n es compuesto, entonces Mn es compuesto.

Estos números llevan el nombre del monje francés Marin Mersenne porque animó a muchos matemáticos a estudiarlos e incorrectamente conjeturó que los números de Mersenne eran primos para

 n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67 y 257;

y todos los demás enteros positivos Mersennes con n >257 eran compuestos . Veamos la conjetura de Mersenne para más detalle sobre esta conjetura influyente.

2. La conjetura de Mersenne

Era obvio para los compañeros de Mersenne que él no podía haber probado todos estos números (de hecho, admitió que sí), y ellos tampoco podían probarlos. Tomó tres siglos y varios descubrimientos matemáticos (como la prueba de Lucas Lehmer), antes de que los exponentes en la conjetura de Mersenne hubieran sido completamente verificados.

Se determinó que había cometido cinco errores (tres primos omitidos, dos compuestos enumerados)

Omitió:

\[ M_{61}, M_{89}, M_{107} \]

Son compuestos:

\[ M_{67}, M{257} \]

y la lista correcta es:

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127

2.1. Lectura recomendada

¿De dónde sacó Mersenne su lista? Quizás encontremos una pista en esta cita del libro History of the Theory of Number de Leonard Eugene Dickson:

History of the Theory of Numbers: Divisibility and Primality: 1 (Dover Books on Mathematics)

En una carta a Tannery, Lucas declaró que Mersenne (1644, 1647) daba a entender que una condición necesaria y suficiente para que

\[ 2^p-1 \]

sea un primo, es que p sea ​​primo de una de las formas:

\[ 2^{2n}+1 \]

\[ 2^2n \pm-3 \]

\[ 2^{2n+1}-1 \]

Tannery expresó su creencia de que el teorema era empírico y señaló que la condición suficiente sería falsa si

\[ 2^{67}-1 \]

es compuesto [como es el caso].

Entonces, quienquiera que sea la fuente (Mersenne, Frenicle o Fermat –leer libro), parece existir la creencia de que los exponentes p de Mersenne tienen una forma especial. También hay una restricción faltante en el tamaño del primo porque todos sabían que 2^3 -1 es primo, pero 3 no se obtiene de ninguna de estas formas.)

Lamentablemente, las condiciones citadas anteriormente no son ni necesarias ni suficientes. Los números de Mersenne Mp son compuestos para los siguientes números primos p :

\[ 257=2^8-1 \]

\[ 1024=2^{10}-3 \]

\[ 67=2^6+3 \]

\[ 8191=2^{13}-1 \]

Además, Mp es primo para p=89, pero 89 no se puede escribir en ninguna de las formas enumeradas.

¿Se puede rescatar algo de esta conjetura? Algunos dicen que sí, vea la nueva conjetura de Mersenne al final del artículo.

3. Primos de Mersenne

Un número 2^n -1 de Mersenne, que es primo, se llama primo Mersenne . Muy pocos de los números de la forma

\[ 2^n-1 \]

son primos. Los números de Mersenne son el tipo de número más fácil para comprobar que son primos (debido a la prueba de Lucas-Lehmer), por lo que suelen ser los primos más grandes en la lista de de los primos más conocidos.

Los primos de esta forma fueron estudiados primero por Euclides, quien exploró su relación con los números pares perfectos . Fueron nombrados después Mersenne porque escribió a muchos matemáticos para alentar su estudio y porque despertó el interés de generaciones de matemáticos al afirmar en 1644 que

Mp era primo para 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 , 67, 127, 257 y para ningún otro primo p menor que 257.

Le tomó tres siglos probar completamente su audaz declaración, y cuando terminó, se descubrió que estaba equivocado acerca de que M67 y M257 eran primos, y omitió M61, M89 y M107.

4. Lista de los números primos de Mersenne conocidos

La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos: (Vía Wikipedia)

5. Nueva conjetura de Mersenne

Ya habíamos señalamos que las condiciones de la conjetura de Mersenne no son ni necesarias ni suficientes. Entonces, ¿hay algo que pueda decirse al respecto? Bateman, Selfridge y Wagstaff dicen sí y han propuesto La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff

Establece a p ser cualquier número natural impar. Si se cumplen dos de las siguientes condiciones, también lo hará la tercera:

\[ p = 2^k \pm 1 \quad o \quad p = 4^k \pm 3 \]

\[ 2^p-1 \quad es \quad primo \]

\[ (2^p+1)\div3 \quad es \quad primo \]

Si p es un número compuesto impar, entonces tanto 2^p − 1 como (2^p + 1)/3 son compuestos (Ejemplo: p=9). Por tanto, solo es necesario examinar números primos para verificar esta conjetura (Ejemplo: p=3).

Esta conjetura se ha verificado para todos los primos p menores que 100000 y para todos los primos de Mersenne conocidos. Algunos sienten que «conjetura» es una palabra demasiado fuerte para lo anterior y que tal vez este es incluso otro caso de la Ley de los Números Pequeños de Richard Guy.