Número primo de Mersenne

Para entender cuándo se dice que un número entero positivo es Número primo de Mersenne, primero repasemos la definición, la conjetura y finalmente llegaremos al punto de interés.

Número de Mersenne

Los números de Mersenne son enteros de la forma:

\[ M_n = 2^n-1 \]

Muchos autores recomiendan que el exponente n sea ​​un primo. Son de interés porque los primos de Mersenne (números primos de Mersenne) se encuentran entre los primos más antiguos y más estudiados. Y se cumple lo siguiente:

  • Los números de Mersenne que sean primos también tendrán un n primo (aunque no al revés;  que n sea prima no es una condición suficiente para que Mn lo sea).
  • Si n es compuesto, entonces Mn es compuesto.

Estos números llevan el nombre del monje francés Marin Mersenne porque animó a muchos matemáticos a estudiarlos e incorrectamente conjeturó que los números de Mersenne eran primos para

 n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67 y 257;

y todos los demás enteros positivos Mersennes con n >257 eran compuestos . Veamos la conjetura de Mersenne para más detalle sobre esta conjetura influyente.

2. La conjetura de Mersenne

Era obvio para los compañeros de Mersenne que él no podía haber probado todos estos números (de hecho, admitió que sí), y ellos tampoco podían probarlos. Tomó tres siglos y varios descubrimientos matemáticos (como la prueba de Lucas Lehmer), antes de que los exponentes en la conjetura de Mersenne hubieran sido completamente verificados.

Se determinó que había cometido cinco errores (tres primos omitidos, dos compuestos enumerados)

Omitió:

\[ M_{61}, M_{89}, M_{107} \]

Son compuestos:

\[ M_{67}, M{257} \]

y la lista correcta es:

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127

2.1. Lectura recomendada

¿De dónde sacó Mersenne su lista? Quizás encontremos una pista en esta cita del libro History of the Theory of Number de Leonard Eugene Dickson:

History of the Theory of Numbers: Divisibility and Primality: 1 (Dover Books on Mathematics)

En una carta a Tannery, Lucas declaró que Mersenne (1644, 1647) daba a entender que una condición necesaria y suficiente para que

\[ 2^p-1 \]

sea un primo, es que p sea ​​primo de una de las formas:

\[ 2^{2n}+1 \]

\[ 2^2n \pm-3 \]

\[ 2^{2n+1}-1 \]

Tannery expresó su creencia de que el teorema era empírico y señaló que la condición suficiente sería falsa si

\[ 2^{67}-1 \]

es compuesto [como es el caso].

Entonces, quienquiera que sea la fuente (Mersenne, Frenicle o Fermat –leer libro), parece existir la creencia de que los exponentes p de Mersenne tienen una forma especial. También hay una restricción faltante en el tamaño del primo porque todos sabían que 2^3 -1 es primo, pero 3 no se obtiene de ninguna de estas formas.)

Lamentablemente, las condiciones citadas anteriormente no son ni necesarias ni suficientes. Los números de Mersenne Mp son compuestos para los siguientes números primos p :

\[ 257=2^8-1 \]

\[ 1024=2^{10}-3 \]

\[ 67=2^6+3 \]

\[ 8191=2^{13}-1 \]

Además, Mp es primo para p=89, pero 89 no se puede escribir en ninguna de las formas enumeradas.

¿Se puede rescatar algo de esta conjetura? Algunos dicen que sí, vea la nueva conjetura de Mersenne al final del artículo.

3. Primos de Mersenne

Un número 2^n -1 de Mersenne, que es primo, se llama primo Mersenne . Muy pocos de los números de la forma

\[ 2^n-1 \]

son primos. Los números de Mersenne son el tipo de número más fácil para comprobar que son primos (debido a la prueba de Lucas-Lehmer), por lo que suelen ser los primos más grandes en la lista de de los primos más conocidos.

Los primos de esta forma fueron estudiados primero por Euclides, quien exploró su relación con los números pares perfectos . Fueron nombrados después Mersenne porque escribió a muchos matemáticos para alentar su estudio y porque despertó el interés de generaciones de matemáticos al afirmar en 1644 que

Mp era primo para 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 , 67, 127, 257 y para ningún otro primo p menor que 257.

Le tomó tres siglos probar completamente su audaz declaración, y cuando terminó, se descubrió que estaba equivocado acerca de que M67 y M257 eran primos, y omitió M61, M89 y M107.

4. Lista de los números primos de Mersenne conocidos

La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos: (Vía Wikipedia)

Tabla de los 50 números primos de Mersenne. (# – número – Mn – Cantidad de Cifras – Fecha – Descubridor)
# número Mn Nº de cifras
de Mn
Fecha del
descubrimiento
Descubridor
#1 2 3 1 antigüedad Euclides
#2 3 7 1 antigüedad Euclides
#3 5 31 2 antigüedad Euclides
#4 7 127 3 antigüedad Euclides
#5 13 8191 4 1456 anónimo
#6 17 131071 6 1588 Cataldi
#7 19 524287 6 1588 Cataldi
#8 31 2147483647 10 1772 Euler
#9 61 2305843009213693951 19 1883 Pervushin
#10 89 618970019…449562111 27 1911 Powers
#11 107 162259276…010288127 33 1914 Powers
#12 127 170141183…884105727 39 1876 Lucas
#13 521 686479766…115057151 157 1952 Robinson (SWAC)
#14 607 531137992…031728127 183 1952 Robinson (SWAC)
#15 1.279 104079321…168729087 386 1952 Robinson (SWAC)
#16 2.203 147597991…697771007 664 1952 Robinson (SWAC)
#17 2.281 446087557…132836351 687 1952 Robinson (SWAC)
#18 3.217 259117086…909315071 969 1957 Riesel
#19 4.253 190797007…350484991 1.281 1961 Hurwitz
#20 4.423 285542542…608580607 1.332 1961 Hurwitz
#21 9.689 478220278…225754111 2.917 1963 Gillies
#22 9.941 346088282…789463551 2.993 1963 Gillies
#23 11.213 281411201…696392191 3.376 1963 Gillies
#24 19.937 431542479…968041471 6.002 1971 Tuckerman
#25 21.701 448679166…511882751 6.533 1978 Noll y Nickel
#26 23.209 402874115…779264511 6.987 1979 Noll
#27 44.497 854509824…011228671 13.395 1979 Nelson y Slowinski
#28 86.243 536927995…433438207 25.962 1982 Slowinski
#29 110.503 521928313…465515007 33.265 1988 Colquitt y Welsh
#30 132.049 512740276…730061311 39.751 1983 Slowinski
#31 216.091 746093103…815528447 65.050 1985 Slowinski
#32 756.839 174135906…544677887 227.832 1992 Slowinski y Gage
#33 859.433 129498125…500142591 258.716 1994 Slowinski y Gage
#34 1.257.787 412245773…089366527 378.632 1996 Slowinski y Gage
#35 1.398.269 814717564…451315711 420.921 1996 Joel Armengaud
#36 2.976.221 623340076…729201151 895.932 1997 Gordon Spence
#37 3.021.377 127411683…024694271 909.526 1998 Roland Clarkson
#38 6.972.593 437075744…924193791 2.098.960 1999 GIMPS /
#39 13.466.917 924947738…256259071 4.053.946 2001 Michael Cameron
#40 20.996.011 125976895…855682047 6.320.430 2003 Michael Shafer
#41 24.036.583 299410429…733969407 7.235.733 2004 Josh Findley
#42 25.964.951 122164630…577077247 7.816.230 2005 Martin Nowak
#43 30.402.457 315416475…652943871 9.152.052 2005 Curtis Cooper y Steven Boone
#44 32.582.657 124575026…053967871 9.808.358 2006 Curtis Cooper y Steven Boone
#45 37.156.667 202254406…308220927 11.185.272 2008 Hans-Michael Elvenich
#46 42.643.801 169873516…562314751 12.837.064 2009 Odd M. Strindmo
#47 43.112.609 316470269…697152511 12.978.189 2008 Edson Smith
#48 57.885.161 581887266…724285951 17.425.170 2013 Curtis Cooper
#49​ 74.207.281 300376418…086436351 22.338.618 2016 Curtis Cooper
#50​ 77.232.917 467333183…762179071 23.249.425 2017 Jonathan Pace

5. Nueva conjetura de Mersenne

Ya habíamos señalamos que las condiciones de la conjetura de Mersenne no son ni necesarias ni suficientes. Entonces, ¿hay algo que pueda decirse al respecto? Bateman, Selfridge y Wagstaff dicen sí y han propuesto La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff

Establece a p ser cualquier número natural impar. Si se cumplen dos de las siguientes condiciones, también lo hará la tercera:

\[ p = 2^k \pm 1 \quad o \quad p = 4^k \pm 3 \]

\[ 2^p-1 \quad es \quad primo \]

\[ (2^p+1)\div3 \quad es \quad primo \]

Si p es un número compuesto impar, entonces tanto 2^p − 1 como (2^p + 1)/3 son compuestos (Ejemplo: p=9). Por tanto, solo es necesario examinar números primos para verificar esta conjetura (Ejemplo: p=3).

Esta conjetura se ha verificado para todos los primos p menores que 100000 y para todos los primos de Mersenne conocidos. Algunos sienten que “conjetura” es una palabra demasiado fuerte para lo anterior y que tal vez este es incluso otro caso de la Ley de los Números Pequeños de Richard Guy.

Número primo de Mersenne
5 (100%) 11 votes
Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert