Números Primos

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¿Estás buscando los primos más grandes conocidos? ¿Listas de registros? Información sobre quién encuentra los primos más grandes (¿y cómo?) ¡Estás en el lugar correcto! Aquí mantenemos la lista de más de 5000 números primos más grandes conocidos, actualizados cada hora (cientos de números primos nuevos se envían cada mes). Somos la fuente principal del mundo para los registros de números primos actuales.

En este blog encontrarás:

¿Qué son los divisores?

Los “divisores” son los números que multiplicas para obtener otro número. Por ejemplo, los divisores de 15 son 3 y 5, porque 3 × 5 = 15. Algunos números tienen más de un divisor (más de una forma de factorización). Por ejemplo, 12 pueden tomarse como 1 × 12, 2 × 6 o 3 × 4 . Un número que solo se puede factorizar por 1 se llama “primo“. Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, y 13. El número 1 no se considera un número primo, y normalmente no se incluye en las factorizaciones, porque el 1 lo incluyen todos.

El número 1 es un poco aburrido en este contexto, así que se ignora.

Con frecuencia, desea encontrar la “factorización prima” de un número: la lista de todos los factores de número primo de un número dado. La factorización prima no incluye 1 , pero sí incluye cada copia de cada factor principal. Por ejemplo, la factorización prima de 8 es 2 × 2 × 2 , no solo ” 2 “. Sí, 2 es el único factor, pero necesita tres copias para multiplicar de nuevo a 8 , por lo que la factorización prima incluye las tres copias.

Por otro lado, la factorización prima incluye ÚNICAMENTE los factores primos, no cualquier producto de esos factores. Por ejemplo, aunque 2 × 2 = 4 , y aunque 4 es un divisor de 8, 4 NO está en la factorización PRIMA de 8. ¡Eso es porque 8 NO es igual a 2 × 2 × 2 × 4 ! Esta sobre-duplicación de factores accidental es otra razón por la cual la factorización prima es a menudo la mejor: evita contar cualquier factor demasiadas veces.

Supongamos que necesita encontrar la factorización prima de 24 . A veces, un alumno solo listará todos los divisores de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Luego, el alumno hará algo así como crear el producto de todos estos divisores: 1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 8 × 12 × 24 . Pero esto equivale a 331776 , no a 24 . Por lo tanto, es mejor ceñirse a la factorización prima.

Divisores de un número

Los divisores son los números que multiplicas para obtener otro número:

2 y 3 son divisores de 6 porque 2 x 3 = 6

Puede haber muchos factores de un número.

Ejemplo: todos los divisores de 12

\[ 2 \times 6=12 \]

\[ 3 \times 4=12 \]

\[ 1 \times 12=12 \]

Entonces 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son divisores de 12.

Sin fracciones!

Los divisores son generalmente positivos o negativos números enteros (no fracciones), por lo que ½ × 24 = 12 se no toma en cuenta.

Introducción a Números Primos

Un número entero es primo si sus únicos divisores (factores) positivos son uno y sí mismo. Por ejemplo, los divisores primos de 10 son 2 y 5; y los primeros seis primos son 2, 3, 5, 7, 11 y 13. (Los primeros 10,000 primos, y otras listas están disponibles aquí).

La propiedad de ser primo se denomina primalidad. Cuando se habla de número primo impar se referiere a cualquier número primo mayor que 2 (>2), ya que este es el único número primo par.

¿Te preguntas por qué es tan importante un número primo? Mira el vídeo de Grandes temas de la matemática:

Grandes temas de la matemática: Capítulo 2: Los números primos

Historia

Los números primos se han estudiado durante miles de años. Los “Elementos” (Elements) de Euclides, publicados alrededor del año 300 aC, demostraron varios resultados sobre los números primos. En el Libro IX de los “Elementos”, Euclides escribe que hay infinitos números primos. Euclid también proporciona pruebas del Teorema Fundamental de la Aritmética: cada entero se puede escribir como un producto de primos de una manera única. En “Elementos”, Euclid resuelve el problema de cómo crear un número perfecto, que es un entero positivo igual a la suma de sus divisores positivos, utilizando primos de Mersenne. Un primo Mersenne es un número primo que se puede calcular con la ecuación:

\[ 2^n-1 \]

En 200 aC, Eratóstenes creó un algoritmo que calculaba los números primos, conocido como la criba de Eratóstenes. Este algoritmo es uno de los algoritmos más antiguos jamás escritos. Eratóstenes puso los números en una cuadrícula, y luego tachó todos los múltiplos de números hasta que la raíz cuadrada del número más grande en la cuadrícula sea tachado.

Por ejemplo, en un cuadro de 1 a 100, tacharía los múltiplos de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, ya que 10 es la raíz cuadrada de 100. Dado que 6, 8, 9 y 10 son múltiplos de otros números, ya no tiene que preocuparse por esos múltiplos. Por lo tanto, para esta tabla, se tacharán los múltiplos de 2, 3, 5 y 7. Con estos múltiplos tachados, los únicos números que quedan y que no están tachados son los principales. Este tamiz permite a alguien obtener grandes cantidades de números primos.

Criba de Eratóstenes Números Primos

Criba de Eratóstenes para Números Primos

Más Conjeturas y matemáticos

Pero durante la Edad Oscura, cuando el intelecto y la ciencia fueron suprimidos, no se hizo más trabajo con los números primos. En el siglo XVII, matemáticos como Fermat, Euler y Gauss comenzaron a examinar los patrones que existen en los números primos. Las conjeturas y teorías expuestas por los matemáticos en el momento revolucionaron las matemáticas, y algunas aún no se han demostrado hasta el día de hoy. De hecho, la prueba de la Hipótesis de Riemann, basada en la teoría de Bernhard Riemann sobre patrones en números primos, conlleva un premio de $1 millón del Clay Mathematics Institute.

Según el número de divisores,  los números pueden ser primos o compuestos. Los números primos tienen sólo dos divisores naturales. Son divisibles únicamente entre sí mismos y entra la unidad.

En 1984, Samuel Yates definió un primo titánico como un número primo con al menos 1,000 dígitos. Cuando introdujo este término, solo se conocían 110 de estos primos; ¡ahora hay más de 1000 veces más! Y a medida que las computadoras y la criptología continuamente le dan un nuevo énfasis a la búsqueda de primos cada vez más grandes, este número seguirá creciendo. En poco tiempo, esperamos ver los primeros diez millones de dígitos de primos.

Números primos y encriptación

En 1978, tres investigadores descubrieron una manera de cifrar y descifrar mensajes codificados usando números primos. Esta forma temprana de encriptación allanó el camino para la seguridad en Internet, colocando a los números primos en el corazón del comercio electrónico. La criptografía de clave pública, o encriptación RSA, ha simplificado las transacciones seguras de todos los tiempos. La seguridad de este tipo de criptografía se basa en la dificultad de factorizar grandes números compuestos, que es el producto de dos grandes números primos.

La confianza en los sistemas bancarios y comerciales modernos depende de la suposición de que no se pueden tener en cuenta grandes números compuestos en un corto período de tiempo. Dos primos se consideran suficientemente seguros si tienen una longitud de 2.048 bits, ya que el producto de estos dos primos sería de unos 1.234 dígitos decimales.

Más enlaces útiles

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