Un número compuesto es un número entero que puede dividirse exactamente por números distintos a 1 o sí mismo. Por ejemplo: 9 se puede dividir exactamente por 3 (así como 1 y 9), por lo que 9 es un número compuesto.
Ahora, miremos el 7: no se puede dividir exactamente (excepto por 1 y 7), por lo que NO es un número compuesto (es un número primo).
Todos los números enteros superiores a 1 son compuestos o primos.
1. Qué son Números Compuestos
Son aquellos que tienen más de dos divisores (además del 1 y sí mismo).
Cada número mayor que 1 es un número primo o un número compuesto. Un número primo tiene exactamente dos factores: 1 y el número mismo. Por ejemplo, el número 5 es primo porque sus únicos dos factores son 1 y 5. Un número compuesto tiene al menos tres factores. Por ejemplo, el número 4 tiene tres factores: 1, 2 y 4.
Ejemplo: Los primeros números compuestos
{4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15....}cuyas descomposiciones principales se resumen en la siguiente tabla. Tenga en cuenta que el número 1 es un caso especial que se considera ni compuesto ni primo.
| n (número) | factorización en primos |
|---|---|
| 4 | 2² |
| 6 | 2 x 3 |
| 8 | 2³ |
| 9 | 3² |
| 10 | 2 x 5 |
| 12 | 2² x 3 |
| 14 | 2 x 7 |
| 15 | 3 x 5 |
| 16 | 24 |
| 18 | 2 x 3² |
| 20 | 2² x 5 |
| 21 | 3 x 7 |
| 22 | 2 x 11 |
| 24 | 2³ x 3 |
| 25 | 5² |
| 26 | 2 x 13 |
| 27 | 3³ |
| 28 | 2² x 7 |
| 30 | 2 x 3 x 5 |
| 32 | 25 |
2. Números Compuestos del 1 al 100
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100.
El Tamiz de Eratóstenes puede usarse para mostrar números que son números compuestos del 2 al 100. Los valores que NO se muestran en el Tamiz de Eratóstenes son números compuestos.
3. Números Primos vs Números Compuestos
Podemos construir 36 multiplicando 9 y 4 ; o podemos construirlo multiplicando 6 y 6; también 18 y 2; o incluso al multiplicar 2 x 2 x 3 x 3, entonces decimos que 36 es compuesto . Los números que no se pueden componer multiplicando bloques de construcción más pequeños, por ejemplo, 2 y 17, se llaman números primos.
Ejemplos de números compuestos:
- ¿4 es primo o compuesto? 4 es compuesto porque 2 es un factor.
- ¿8 es primo o compuesto? 8 es un número compuesto porque tiene a 4 y 2 como factores o divisores.
- Inténtelo usted: ¿158465445 es compuesto?
Ejemplos de números no compuestos:
- El número 5 es primo o compuesto? El número 5 es un no un número compuesto porque sus únicos factores son 1 y en sí mismo (5). 5 es un número primo.
- El número 7 es primo o compuesto? 7 no es un número compuesto porque sus únicos factores son 1 y en sí mismo (7). 7 es un número primo .
- Inténtelo usted: ¿15846543 es primo? compruébelo aquí.
Verifica si un número es compuesto o prima con este programa en Java.
4. Teorema fundamental de la aritmética
Todo número entero mayor que la unidad, se descompone en un producto de factores primos y además, de modo único, si no se considera el orden de los factores.
Ejemplo: Para el número 200
Descomposición canónica del número 200:
\[ 200 = 2^3 + 5 ^ 2 \]
En General:
\[ N = P_1^{\alpha_1} \times P_2^{\alpha_2} \times P_3^{\alpha_3} \times … \times P_k^{\alpha_k} \]
Ejemplos:
\[ 1400 = 2^3 \times 5^2 \times 7 \]
\[ 464 = 2 \times 3 \times 7 \times 11 \]
<h2>6. Cálculos de Divisores de un entero positivo</h2>
Sea el número N donde su descomposición canónica es:
\[ N = P_1^{\alpha_1} \times P_2^{\alpha_2} \times P_3^{\alpha_3} \times … \times P_k^{\alpha_k} \]
4.1. Calcular la cantidad de divisores de N (CD(N)]
\[ CD_{(N)} = ({\alpha_1}+1) \times ({\alpha_2}+1) \times ({\alpha_3}+1) \times … \times ({\alpha_k}+1) \]
Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 200
Como sabemos que:
\[ 200 = 2^3 + 5 ^ 2 \]
Entonces:
\[ CD_{(200)} = (3 + 1) \times (2 + 1) \]
\[ CD_{(200)} = 4 \times 3 = 12 \]
4.2. Calcular la suma de divisores de N (SD(N)]
\[ SD_{(N)} = \frac{P_1^{\alpha_1+1}}{P_1-1} \times \frac{P_2^{\alpha_2+1}}{P_2-1} \times \frac{P_3^{\alpha_3+1}}{P_3-1} \times …\frac{P_k^{\alpha_n+1}}{P_k-1} \]
Ejemplo: Hallar la suma de divisores de 200
Como sabemos que:
\[ 200 = 2^3 + 5 ^ 2 \]
Entonces:
\[ SD_{(200)} = \frac{2^4-1}{2-1} \times \frac{5^3-1}{5-1} \]
\[ SD_{(200)} = 15 \times 31 = 465 \]
4.3. Calcular el producto de divisores de N (PD(N)]
\[ PD_{(N)} = \sqrt{N^(CD_N)} \]
Ejemplo: Hallar el producto de divisores de 200
Como sabemos que:
\[ 200 = 2^3 + 5 ^ 2 \]
Y, la cantidad de divisores CD(N) es:
\[ CD_{(200)} = (3 + 1) \times (2 + 1) = 12 \]
Entonces:
\[ PD_{(N)} = \sqrt{200^{12}} = 200^6 \]
4.4. Calcular la suma de inversas de divisores de N (SID(N)]
\[ SID_{(N)} =\frac{SD_N}{N} \]
Ejemplo: Hallar la suma de las inversas de los divisores de 200
Como sabemos que:
\[ 200 = 2^3 + 5 ^ 2 \]
Y, la suma de divisores SD(N) es:
\[ SD_{(200)} = \frac{2^4-1}{2-1} \times \frac{5^3-1}{5-1} = 465 \]
Entonces:
\[ SID_{(200)} =\frac{465}{200} \]
Al probar para ver si un número es primo o compuesto, realice pruebas de divisibilidad en el siguiente orden (de más fácil a más difícil): 2, 5, 3, 11, 7 y 13. Si encuentra que un número es divisible por uno de estos, usted sabe que es compuesto y no tiene que realizar las pruebas restantes.