Muchas culturas antiguas otorgaron ciertos enteros con especial significado religioso y mágico. Un ejemplo son los números perfectos. Un número perfecto es aquel que es igual a la suma de sus divisores, a excepción de sumarse a sí mismo.
Los primeros tres números perfectos son:
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
El antiguo erudito cristiano Agustín explicó que Dios podría haber creado el mundo en un instante, pero eligió hacerlo en un número perfecto de días, 6. Los primeros comentaristas judíos sintieron que la perfección del universo se mostraba por el período de la luna de 28 días.
Cualquiera que sea el significado atribuido a ellos, estos tres números perfectos anteriores, y 8128, eran conocidos por ser «perfectos» por los antiguos griegos, y la búsqueda de números perfectos estaba detrás de algunos de los mayores descubrimientos en la teoría de los números. Por ejemplo, en el Libro IX de los elementos de Euclides encontramos la primera parte del siguiente teorema (completado por Euler unos 2000 años después).
Teorema
Si:
\[ 2^k -1 \quad es \quad primo \]
entonces
\[ {2^{k-1}} \times (2^k -1) \]
es perfecto y cada número perfecto incluso tiene esta forma.
Resulta que para que 2^k -1 sea primo, k también debe ser primo, por lo que la búsqueda de Números perfectos es la misma que la búsqueda de primos de Mersenne. Armado con esta información, no toma demasiado tiempo, ni siquiera a mano, encontrar los siguientes dos números perfectos: 33550336 y 8589869056.
Ejemplos de números perfectos
\[ n = 2: 2^1 × (2^2 – 1) = 6 \]
\[ n = 3: 2^2 × (2^3 – 1) = 28 \]
\[ n = 5: 2^4 × (2^5 – 1) = 496 \]
\[ n = 7: 2^6 × (2^7 – 1) = 8128 \]
10 Primeros Números Perfectos
Las lista siguiente incluye los primeros 10 números perfectos:
6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
2658455991569831744654692615953842176
191561942608236107294793378084303638130997321548169216
En su búsqueda de números perfectos y números amigos, Pierre de Fermat descubre el Pequeño Teorema de Fermat y lo comunica a Mersenne en 1640 en una versión simplificada.
Se desconoce si hay algún número perfecto impar. Si hay algunos, entonces son bastante grandes (más de 300 dígitos) y tienen numerosos factores primos . Pero esto, sin duda, seguirá siendo un problema abierto durante bastante tiempo.