Números Amigos

El par de números 220 y 284 tiene la curiosa propiedad de que cada uno «contiene» al otro. ¿En qué manera? En el sentido de que la suma de los divisores positivos propios de cada uno, da como resultado el otro.

Para 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Para 284: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Dichos pares de números se llaman números amigos.

Historia y Curiosidades

Los números amistosos tienen una larga historia en magia y astrología, elaborando pociones de amor y talismanes. Como ejemplo, algunos comentaristas judíos antiguos pensaron que Jacob le dio a su hermano 220 ovejas (200 mujeres y 20 hombres) cuando temía que su hermano lo matara (Génesis 32:14). El filósofo Jámblico de Calcis (alrededor de 250-330 DC) escribe que los pitagóricos sabían de estos números:

Llaman a ciertos números números amistosos, adoptando virtudes y cualidades sociales para los números, como 284 y 220; porque las partes de cada uno tienen el poder de generar el otro.

Se dice que Pitágoras dijo que «un amigo es uno que es el otro yo, como 220 y 284«.  Ahora bien, los números amigables suelen quedar relegados a las secciones de ejercicios de los textos elementales de la teoría de números.

Fórmula para hallar números amigos

No hay una fórmula o método conocido que enumere todos los números amistosos, pero se han descubierto fórmulas para ciertos tipos especiales a lo largo de los años. Thabit ibn Kurrah (alrededor de 850 dC) señaló que

\[ si \quad n > 1 \quad y \quad cada \quad valor \quad p = 3 \times 2^{n-1}, q = 3 \times 2^{n -1}, r = 9 \times2^{n-1} \quad son \quad primos \]

\[ Entonces \quad 2^n \times pq \quad y \quad 2^n r \quad son \quad primos \]

¡Pasaron siglos antes de que esta fórmula produjera el segundo y tercer par de números amistosos!

  • Fermat anunció el par 17,296 y 18,416 ( n = 4) en una carta a Mersenne en 1636.
  • Descartes escribió a Mersenne en 1638 con el par 9,363,584 y 9,437,056 ( n = 7).

Euler luego los superó a ambos al agregar una lista de sesenta y cuatro nuevos pares amigos, sin embargo, cometió dos errores. En 1909 se descubrió que uno de sus pares no eran amigos, y en 1914 el mismo destino tomó un segundo par. En 1866, un niño de dieciséis años, Nicolo Paganini, descubrió el par (1184,1210) que antes era desconocido.

Ejemplos de números amigos

220 y 284
1184 y 1210
2620 y 2924
5020 y 5564
6232 y 10 6368
10744 y 10856
12285 y 14595
17296 y 18416
63020 y 66928
66992 y 67095
69615 y 71145
76084 y 79750
87633 y 88730
100485 y 122265
122368 y 123152
124155 y 139815
141664 y 142310

Ahora, búsquedas exhaustivas en la computadora han encontrado todos esos números con 10 o menos dígitos y numerosos ejemplos más grandes, para un total de más de 7500 pares de números amigos. Se desconoce si hay infinitos pares de números amigos. También se desconoce si hay un par relativamente primos de números amigos. Si existe tal pareja, deben tener más de veinticinco dígitos de longitud, y su producto debe ser divisible por al menos 22 primos distintos. ¡Descúbrelo!

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