En 1770, Edward Waring anunció el siguiente teorema de su antiguo alumno John Wilson.
- Teorema de Wilson: Sea p ser un número entero mayor que uno.
p es primorial si y solo si (p-1)! = -1(mod p).
Este hermoso resultado tiene un valor mayormente teórico porque es relativamente difícil de calcular (p -1)!. Por el contrario, es fácil calcular una ap-1, por lo que las pruebas de primalidad elemental se construyen utilizando el Pequeño Teorema de Fermat en lugar de Wilson.
Ni Waring ni Wilson pudieron probar el teorema anterior, pero ahora se puede encontrar en cualquier texto de teoría numérica elemental. Para ahorrarle algo de tiempo, presentamos una prueba aquí.
Prueba del Teorema de Wilson
Es fácil verificar el resultado cuando p es 2 o 3, así que supongamos que p > 3. Si p es compuesto, entonces sus divisores positivos están entre los enteros:
1, 2, 3, 4, ... , p-1
y está claro que gcd((p-1)!,p) > 1, ¡así que no podemos tener ( p -1)! = -1 (mod p ).
Sin embargo, si p es primo, entonces cada uno de los enteros anteriores es relativamente primo a p. Entonces, para cada uno de estos enteros a hay otro b tal que ab = 1 (mod p). Es importante tener en cuenta que este b es el único módulo p, y que como p es primo, a = b si y solo si a es 1 o p -1. Ahora si omitimos 1 y p -1, entonces los otros pueden ser agrupados en pares cuyo producto es uno que muestra
2 x 3 x 4 x ... x (p -2) = 1 (mod p)
(o más simplemente (p -2)! = 1 (mod p )). Finalmente, multiplique esta igualdad por p -1 para completar la prueba.