El «más grande» de Fermat, y también su «Último Teorema» establece que xn + yn = zn no tiene soluciones en enteros positivos x, y, z con n mayor que 2. Esto finalmente ha sido probado por Wiles en 1995 Sin embargo, en el estudio de los primos, el pequeño teorema de Fermat es el más utilizado:
Sea p un primo que no divida el entero a, luego:
\[ a^{p-1} = 1 (mod \quad p) \]
Fermat dio este resultado en una carta a Frenicle en 1640, aunque no proporcionó una prueba. Leibniz tenía una prueba, pero Euler fue el primero en publicar una prueba en 1736
Es tan fácil calcular ap -1 que la mayoría de las pruebas de primalidad elementales se construyen usando una versión del Pequeño Teorema de Fermat en lugar del Teorema de Wilson.
Como de costumbre, Fermat no proporcionó una prueba (esta vez diciendo «Te enviaría la demostración, si no temiera que fuera demasiado larga» [ Burton80 , p79]). Euler publicó por primera vez una prueba en 1736, pero Leibniz dejó prácticamente la misma prueba en un manuscrito inédito de algún tiempo antes de 1683.
Ejemplos del pequeño teorema de Fermat
Un ejemplo ilustrado:
11 es primo, así que 2^11-2=2046 es divisible por 11 (según el pequeño teorema de Fermat)
Más ejemplos:
53 − 5 = 120 es divisible por 3. 72 − 7 = 42 es divisible por 2. 25 − 2 = 30 es divisible por 5. (−3)7 + 3 = − 2.184 es divisible por 7. 297 − 2 = 158.456.325.028.528.675.187.087.900.672 es divisible por 97.
En resumen, el pequeño teorema de Fermat quiere decir que si se eleva un número a a la p-ésima potencia y a ese resultado se le resta a, el nuevo resultado es divisible por p.