Un número afortunado (nombre atribuido por Reo Franklin Fortune, una vez casado con la antropóloga Margaret Mead) es un número primo que puede resultar de la siguiente expresión:
\[ q-(P_n)=Q \]
Reo Fortune conjeturó que si q es el primo más cercano y mayor que P+1, entonces q-P es primo. Por ejemplo, si n es 3, entonces P es 2x3x5=30, q=37, y q-P es primo: 7.
Lista de números afortunados
Estos números q – P ahora se llaman números afortunados , ¡y la conjetura aún no se ha resuelto! La secuencia de números afortunados son los siguientes:
3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, 89, 103, 79, 151, 197, 101, 103, 233, 223, 127, 223, 191, 163, 229, 643, 239, 157, 167, 439, 239, 199, 191, 199, 383, 233, 751, 313, 773, 607, 313, 383, 293, 443, 331, 283, 277, 271, 401, 307, 331, ....
Paul Carpenter cree que deberíamos definir de manera similar los números menos afortunados dejando que q sea el primo más cercano y menor que P -1 (el producto de los primeros n primos) y considerando la secuencia P – q. Esta secuencia comienza:
3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, ...
Él conjetura que estos números son primos.
¿Es probable que estas conjeturas sean ciertas? Hay buenas razones para pensar eso. Supongamos que el k-ésimo número afortunado es compuesto, ya que no es divisible por ninguno de los primeros k primos, sabemos que es al menos el cuadrado del k-ésimo primo: pk . Según el teorema del número primo, se trata de
( k log k ) 2
Este es el primer primo que sigue a P ( pk primorial), que es epk (de nuevo por el teorema del número primo). Así que estamos buscando una brecha (espacio) entre primos cerca de P de forma asintótica más que:
( log P) 2
Se cree que una brecha tan grande es muy poco probable.